Задача: Катя записала в блокноте какое‑то трехзначное число, которое делится на 18. Ваша задача – помочь Владу угадать это число, используя только свойства делимости и логику.
Почему число делится на 18?
Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 9 (поскольку 18 = 2·9 и 2 и 9 взаимно просты).
- Делимость на 2 – последняя цифра числа должна быть чётной (0, 2, 4, 6, 8).
- Делимость на 9 – сумма всех цифр числа должна быть кратна 9.
Шаг 1. Составляем список всех трехзначных чисел, делящихся на 18
Самый простой способ – перебрать все трехзначные числа от 100 до 999, проверяя оба условия.
- Найти первое трехзначное число, делящееся на 18. Делим 100 на 18 и получаем 5, остаток 10. Следующее кратное 18 число – 108.
- Далее каждое следующее число получаем, прибавляя 18.
Получаем арифметическую прогрессию:
108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252, 270, 288, 306, 324, 342, 360, 378, 396, 414, 432, 450, 468, 486, 504, 522, 540, 558, 576, 594, 612, 630, 648, 666, 684, 702, 720, 738, 756, 774, 792, 810, 828, 846, 864, 882, 900, 918, 936, 954, 972, 990.
Шаг 2. Уточняем условия задачи
Если у Влада есть дополнительные подсказки (например, первая цифра, или сумма цифр), список можно сузить.
Пример 1. Известна первая цифра
Допустим, Катя сказала, что первая цифра – 3. Оставляем из списка только те числа, у которых сотни равны 3:
- 306, 324, 342, 360, 378, 396.
Пример 2. Известна сумма цифр
Сумма цифр должна быть кратна 9. Если, к примеру, Катя подсказала, что сумма цифр равна 18, проверяем:
- 108 → 1+0+8 = 9 (не подходит)
- 126 → 1+2+6 = 9 (не подходит)
- 144 → 1+4+4 = 9 (не подходит)
- …
- 279 → 2+7+9 = 18 (но 279 не делится на 2 → не подходит)
- …
- 990 → 9+9+0 = 18 (делится, но последняя цифра 0 – подходит)
Шаг 3. Алгоритм угадывания без подсказок
Если у Влада нет никаких дополнительных сведений, он может воспользоваться следующей стратегией:
- Записать все 50 чисел из прогрессии (см. Шаг 1).
- Спросить у Кати любые «да/нет» вопросы, которые позволяют быстро отсеять половину вариантов. Примеры вопросов:
- «Число больше 500?» – делит список примерно пополам.
- «Последняя цифра 0 или 6?» – отсекает 3/5 вариантов.
- «Сумма цифр равна 9?» – оставляет лишь те, у кого сумма 9, 18 или 27.
- Продолжать задавать вопросы, пока не останется один единственный вариант.
Пример диалога
| Вопрос Влада | Ответ Кати | Оставшиеся варианты |
|---|---|---|
| Число больше 500? | Да | 504, 522, 540, 558, 576, 594, 612, 630, 648, 666, 684, 702, 720, 738, 756, 774, 792, 810, 828, 846, 864, 882, 900, 918, 936, 954, 972, 990 |
| Последняя цифра 0? | Нет | 522, 558, 594, 630, 666, 702, 738, 774, 810, 846, 882, 918, 954, 990 |
| Сумма цифр 18? | Да | 990 |
Полезные математические свойства
- Кратность 18 → кратность 2 и 9.
- Для любой цифры a (сотни) и b (десятки) последняя цифра c должна быть чётной.
- Условие a + b + c ≡ 0 (mod 9) позволяет быстро проверять делимость на 9.
Как быстро проверить число на делимость на 18 «в уме»
- Проверяем, чётна ли последняя цифра.
- Складываем все цифры и проверяем, делится ли полученная сумма на 9.
- Если оба условия выполнены – число делится на 18.
Угадать трехзначное число, делящееся на 18, не так сложно, если знать правила делимости. Список всех подходящих чисел состоит из 50 вариантов, а с помощью нескольких «да/нет» вопросов можно сократить его до единственного ответа. Главное – помнить, что число должно быть чётным и сумма его цифр кратна 9.